Question

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）求曲線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)與

【解析】試題分析：

（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得普通方程．（Ⅱ）方法一：把曲線的普通方程化為極坐標(biāo)方程，然后結(jié)合消去，可得．進(jìn)而可得所以，可得或，故可得交點(diǎn)的極坐標(biāo)．方法二：將方程都化為直角坐標(biāo)方程后，可求得曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再化成極坐標(biāo)．

試題解析：

（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程得，

兩式相乘可得曲線的普通方程為．

（Ⅱ）（方法一）將，代入曲線的普通方程，

得

由，得，

代入上式得，

解得，．

所以，解得或，

故所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為與．

（方法二）由得，

故曲線的直角坐標(biāo)為

解方程組，得或．

由得，，，故，因此對(duì)應(yīng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

同理得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，

故所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為與．