Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若時(shí)，求證：對于任意的，均有.

Answer 1

【答案】(1);(2)證明過程見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由二階導(dǎo)數(shù)的符號推出在上單調(diào)遞增，因此求出使的a的取值范圍即可；(2)對函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行討論，證明其最小值非負(fù)即可證明對于任意的，均有.

（1）

，

，

當(dāng)時(shí)，，，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，

所以；

（2）由(1)知，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而，則，，，

則函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，

則時(shí)，，時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，

即對任意的，均有.