Question

若過點（0，0）作圓x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0的切線有兩條，則k的取值范圍是

（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

）

．

Answer 1

分析：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+

k

2

）²+（y+k）²=-

3

4

k²-k+1．根據(jù)方程表示圓的條件和點與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意建立關(guān)于k的不等式組，解之即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：圓x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0，可化為（x+

k

2

）²+（y+k）²=-

3

4

k²-k+1．
∵方程x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0表示圓，
∴-

3

4

k²-k+1＞0，解之得-2＜k＜

2

3

．
又∵過點（0，0）作圓x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0的切線有兩條，
∴點（0，0）在圓外，可得（0+

k

2

）²+（0+k）²＞-

3

4

k²-k+1
解之得k＜-1或k＞

1

2

綜上所述，可得k的取值范圍是（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

），
故答案為：（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

）．

點評：本題給出經(jīng)過原點可作已知圓的切線有兩條，求參數(shù)k的范圍．著重考查了圓的方程、點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．