Question

已知直線：x=my+1過橢圓C：的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）易知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），
∴c=1，
又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴b=，b²=3，
∴，
∴橢圓C的方程為。
（2）易知，且與y軸交于，
設(shè)直線與橢圓交于，
由，
∴，
∴，
又由，
∴，
∴，同理，
∴，
∵，
∴，
所以，當(dāng)m變化時(shí)，的值為定值。
（3）先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線軸，
則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交，F(xiàn)K的中點(diǎn)N，且，
猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)，
證明：由（2）知，，
∴，
當(dāng)m變化時(shí)，首先證直線AE過定點(diǎn)，
∵：，
當(dāng)時(shí)，

   
    ，
∴點(diǎn)在直線上，
同理可證也在直線上，
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)。