Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)的圖像與軸無交點，求的取值范圍；

（2）若方程在區(qū)間上存在實根，求的取值范圍；

（3）設函數(shù)，，當時若對任意的，總存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）函數(shù)與軸無交點，即方程沒有實數(shù)根，即可求得的取值范圍；（2）函數(shù)的對稱軸是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則需滿足；（3）根據(jù)題意可知，函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集，對于函數(shù)，可分討論函數(shù)的值域，利用子集關(guān)系列不等式求的范圍.

（1）若函數(shù)的圖象與軸無關(guān)點，則方程的根的判別式，即，解得.

故的取值范圍為.

（2）因為函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，

所以在上是減函數(shù).

又在上存在零點，所以，即，解得.

故的取值范圍為.

（3）若對任意的，總存在，使得，則函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集.

當時，函數(shù)圖象的對稱軸是直線，所以在上的函數(shù)值的取值集合為.

①當時，，不符合題意，舍去.

②當時，在上的值域為，只需，解得.

③當時，在上的值域為，只需，解得.

綜上，的取值范圍為或.