Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DF的中點． （I）求證：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF與平面BEF所成銳二面角的余弦角．

Answer 1

【答案】解：（1）連接BD和AC交于點O，連接OF，因為四邊形ABCD為正方形，所以O為BD的中點．

因為F為DE的中點，所以OF∥BE．

因為BE平面ACF，OF平面AFC，

所以BE∥平面ACF．

（II）因為AE⊥平面CDE，CD平面CDE，

所以AE⊥CD．

因為ABCD為正方形，所以CD⊥AD．

因為AE∩AD=A，AD，AE平面DAE，

所以CD⊥平面DAE．

因為DE平面DAE，所以DE⊥CD．

所以以D為原點，以DE所在直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則E（2，0，0），F(xiàn)（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．

因為AE⊥平面CDE，DE平面CDE，

所以AE⊥CD．

因為AE=DE=2，所以 ．

因為四邊形ABCD為正方形，

所以 ，

所以 ．

由四邊形ABCD為正方形，

得 = =（2，2 ，2），

所以 ．

設平面BEF的一個法向量為 =（x1，y1，z1），又知 =（0，﹣2 ，﹣2）， =（1，0，0），

由 ，可得 ，

令y1=1，得 ，

所以 ．

設平面BCF的一個法向量為 =（x2，y2，z2），又知 =（﹣2，0，﹣2）， =（1，﹣2 ，0），

由 ，即： ．

令y2=1，得 ，

所以 ．

設平面BCF與平面BEF所成的銳二面角為θ，

又cos = = = ．

則 ．

所以平面BCF與平面BEF所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BD和AC交于點O，連接OF，證明OF∥BE．然后證明BE∥平面ACF．（II）以D為原點，以DE所在直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面BEF的一個法向量，平面BCF的一個法向量，設平面BCF與平面BEF所成的銳二面角為θ，利用數(shù)量積求解即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．