Question

各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)的和為S_n，且Sn=(

Sn-1

+

a1

)2(n≥2)，若bn=

an+1

an

+

an

an+1

，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為T_n，則T_n=

4n2+6n

2n+1

．

Answer 1

分析：由題意可得，

sn

=

sn-1

+

a1

，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)可求

Sn

，進(jìn)而可求S_n，然后利用n≥2時，a_n=s_n-s_n-1式可求a_n，然后代入bn=

an+1

an

+

an

an+1

后，利用裂項(xiàng)求和即可求解

解答：解：由題意可得，s_n＞0
∵Sn=(

Sn-1

+

a1

)2(n≥2)
∴

sn

=

sn-1

+

a1

即數(shù)列{

sn

}是以

a1

為公差以

s1

=

a1

為首項(xiàng)的等差數(shù)列
∴

sn

=n

a1

∴sn=n2a1，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=n2a1-(n-1)2a1=（2n-1）a₁
當(dāng)n=1時，適合上式
∴bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=1+

2

2n-1

+1-

2

2n+1

=2+2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=2n+2（1-

1

2n+1

）
=2n+

2n

2n+1

=

4n2+6n

2n+1

故答案為：

4n2+6n

2n+1

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差 數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的裂項(xiàng)求和，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用