Question

如圖，過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，
點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過右焦點(diǎn)F₂作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面積為20

3

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由于F₁（-c，0），P(-c，

b2

a

)．且OP∥AB，根據(jù)直線的斜率相等得到：k_OP=k_AB解得：b=c．從而a=

2

c，即可求得橢圓的離心率e；
（2）由（1）知橢圓方程可化簡為x²+2y²=2b²．①易求直線QR的斜率為

2

，故可設(shè)直線QR的方程為：y=

2

(x-b) 將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得b值，從而解決問題．

解答：解：（1）∵F₁（-c，0），∴P(-c，

b2

a

)．
∵OP∥AB，∴k_OP=k_AB，∴

b2 a

c

=

b

a

，
解得：b=c．∴a=

2

c，故e=

2

2

．
（2）由（1）知橢圓方程可化簡為x²+2y²=2b²．
①易求直線QR的斜率為

2

，故可設(shè)直線QR的方程為：y=

2

(x-b)．②
由①②消去y得：5x²-8bx+2b²=0．
∴x1+x2=

8b

5

，x1x2=

2b2

5

．
于是△F₁QR的面積S=c•|y1-y2|=

2

c•|x1-x2|=

2

b•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

b•

( 8b 5 )2-4× 2b2 5

=

4 3

5

b2=20

3

，∴b=5．因此橢圓的方程為x²+2y²=50，即

x2

50

+

y2

25

=1

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是要求考生對橢圓基礎(chǔ)知識的熟練掌握．