Question

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知A-C=

π

2

，a+c=

2

b，求C．

Answer 1

分析：由A-C等于

π

2

得到A為鈍角，根據(jù)誘導公式可知sinA與cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=

2

b化簡后，把sinA換為cosC，利用特殊角的三角函數(shù)值和兩角和的正弦函數(shù)公式把左邊變?yōu)橐粋�角的正弦函數(shù)，給方程的兩邊都除以

2

后，根據(jù)C和B的范圍，得到C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π，根據(jù)A為鈍角，所以C+

π

4

+B=π不成立舍去，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π，列出關(guān)于C的方程，求出方程的解即可得到C的度數(shù)．

解答：解：由A-C=

π

2

，得到A為鈍角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c=

2

b可變?yōu)椋簊inA+sinC=

2

sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=

2

sin（C+

π

4

）=

2

sinB，
又A，B，C是△ABC的內(nèi)角，
故C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+

π

2

）+（C+

π

4

）+C=π，
解得C=

π

12

．

點評：此題考查學生靈活運用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值以及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應注意三角形的內(nèi)角和定理及角度范圍的運用．