Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，求|AB|．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）14

【解析】

（1）運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程，得到p=2,進(jìn)而得到拋物線的方程；

（2）設(shè)直線l為：x＝my+1，與拋物線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦長(zhǎng).

（1）由拋物線的準(zhǔn)線得：1，∴p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；

（2）由（1）得焦點(diǎn)F（1，0），又由題意得，顯然直線的斜率不為零，

設(shè)直線l為：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），

聯(lián)立直線l與拋物線的方程得：

y2﹣4my﹣4＝0，

y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，

由題意得：4m2+2＝26＝12，

∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，

所以弦長(zhǎng)|AB|為14．