Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，ABCD是梯形，BC∥AD，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，△ABE，△BEC，△ECD都是邊長為1的等邊三角形．
（1）求證：AP∥平面EFB；
（2）若△PAD是等邊三角形，求直線EF與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證AP∥平面EFB，可通過線面平行的判定定理來證明；
（2）要求直線EF與平面PAD所成角的正弦值，須找到線面角，再由邊角關(guān)系即可求出．

解答： 解：（1）證：連AC交EB與O，連OF 
由ABCE為平行四邊形∴O為AC中點 
在△APC中，OF∥AP
又∵OF?平面EFB，AP?平面EFB
∴AP∥平面EFB
（2）過C作CG⊥AD于G，連PG
由側(cè)面PAD⊥底面ABCD知CG⊥平面PAD，
取PG中點H，連接HF、EH，則HF⊥平面PAD
∴∠FEH即為所求線面角
由AB=1，得HF=

1

2

CG=

3

4

，EF=

1

2

PC=1，
在Rt△FEH中sin∠FEH=

3

4

∴所求的角的正弦值為

3

4

．

點評：本題考查線面平行、線面垂直以及線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．