【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AD⊥CD,∠ABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,△PAB是正三角形.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)要證線線垂直,先證線面垂直,由于是正三角形,取
中點
,則有
,從而只要再證
即可證;
(2)關(guān)鍵是作二面角的平面角,由(1)知平面平面
,因此只要作作PO⊥CE,PH⊥CD,連結(jié)OH,就可得∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角,接著就是計算出這個角即可.
(1)證明:取AB中點E,連結(jié)PE,CE,
易證△ABC為正三角形,E為AB中點,∴CE⊥AB,
∵△ABP為正三角形,E為AB中點,∴PE⊥AB,
∴AB⊥平面PCE,
∴AB⊥PC.
(2)解:過P點作PO⊥CE,PH⊥CD,連結(jié)OH,
∵AB⊥平面PCE,∴平面ABCD⊥平面PCE,
∵PO⊥CE,∴PO⊥平面ABCD,
∵PH⊥CD,∴OH⊥CD,
∴∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角,
四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AD⊥CD,
∠ABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,△PAB是正三角形.
AB=2,PA=PB=2,PE=CE,∠PCE=30°,
所以PO,OC
,∠ECD=60°,OH
,
三角形POH是直角三角形,∠POH=90°,
∴.
∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點
,且與定直線
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(2)過點的任一條直線
與軌跡
交于不同的兩點
,試探究在
軸上是否存在定點
(異于點
),使得
?若存在,求點
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學(xué)校 | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算與
的相關(guān)系數(shù)
,并說明
與
的線性相關(guān)性強(qiáng)弱(已知:
,則認(rèn)為
與
線性相關(guān)性很強(qiáng);
,則認(rèn)為
與
線性相關(guān)性一般;
,則認(rèn)為
與
線性相關(guān)性較弱);
(Ⅱ)求關(guān)于
的線性回歸方程,并預(yù)測
地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個)
參考公式:,
,
,
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為;
當(dāng)P是原點時,定義P的“伴隨點“為它自身,平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點,則點
的“伴隨點”是點A
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對稱,則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是_____________(寫出所有真命題的序列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
1
當(dāng)
時,求曲線
在
處的切線方程;
2
若
是R上的單調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍;
3
若函數(shù)
對任意的實數(shù)
,存在唯一的實數(shù)
,使得
成立,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的短軸長為
,離心率為
,過右焦點
的直線
與橢圓
交于不同兩點
,
.線段
的垂直平分線交
軸于點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=,
,∠ADC=
,PA⊥平面ABCD且PA=
.
(1)求直線AD到平面PBC的距離;
(2)求出點A到直線PC的距離;
(3)在線段AD上是否存在一點F,使點A到平面PCF的距離為.
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