Question

【題目】(2015·陜西）設fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2...,xn的各項和，其中x>0，nN, ，n≥2,
（1）證明：函數(shù)Fn（x）=fn(x)-2在(,1)內有且僅有一個零點（記為xn），且xn=+xnn+1；
（2）設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

見解析。

（2）

見解析。

【解析】（I）Fn（x）=fn(x)-2=1+x+x2+...+xn-2則Fn（1）=n-1>0
Fn（）=1++()2+...+()n-2=
所以Fn（x）在(,1)內至少存在一個零點xn.
又Fn'（x）=1+2x+...+nxn-1>0，故在(,1)內單調遞增，
所以Fn（x）在(,1內有且僅有一個零點xn.
因為xn是Fn（x）的零點，所以Fn（xn）=0，即-2=0，故xn=+xnn+1.
(II)解法一：由題設，gn(x)=
設h(x)= fn(x)-gn(x)=1+x+x2+...+xn-,
x>0, 當x=1時， fn(x)=gn(x)
當x≠1時, h'(x)=1+2x+...nxn-1-
若0<x<1,h'(x)>xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
若x>1,h'(x)<xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+)上遞減，
所以h(x)<h(1)=0，即fn(x)<gn(x)
綜上所述，當x=1時, fn(x)=gn(x)；當x≠1時fn(x)<gn(x)
解法二 由題設， fn(x)=1+x+x2+...+xn, gn(x)=, x>0
當x=1時, fn(x)=gn(x)
當x≠1時, 用數(shù)學歸納法可以證明fn(x)<gn(x).
當n=2時, f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0所以f2(x)<g2(x)成立.
假設n=k(k≥2)時，不等式成立，即fk(x)<gk(x)
那么，當n=k+1時，
.fk+1(x)=fk(x)+xk+1<gk(x)+xk+1=+xk+1=
又gk+1(x)-=
令fk(x)=kxk+1-(k+1)xk ， +1(x>0), 則hk'(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1(x-1)
所以當0<x<1,hk'(x)<0, hk'(x)在(0,1)上遞減；
當x>1,hk'(x)>0,hk(x)在(1,+)上遞增.
所以hk(x)>hk(1)=0，從而gk+1(x)>
故fk+1(x)<gk+1(x).即n=k+1，不等式也成立.
所以，對于一切n≥2的整數(shù)，都有.fn(x)<gn(x)
解法三:由已知，記等差數(shù)列為{ak}, 等比數(shù)列為,則，，{bk} k=1,2,...,n+1, 則a1=b1=1, an+1=bn+1=xn
所以,ak=1+(k-1)-(2≤k≤n), bk=xk-1(2≤k≤n)
令mk(x)=ak-bk=1+-xk-1(2≤k≤n).
當x=1時, ak=bk,所以fn(x)=gn(x)
當x≠1時, mk'(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1)
而2≤k≤n,，所以k-1>0，n-k+1≥1.
若0<x<1 , xn-k+1<1, mk'(x)<0
當x>1, ,,, xn-k+1>1,mk'(x)>0
從而mk(x)在(0,1)上遞減,mk(x)在(1,+)上遞增.所以，mk(x)>mk(1)=0
所以當x>0又a1=b1),an+1=bn+1 ， 故fn(x)<gn(x)
綜上所述，當x=1時, fn(x)=gn(x)；當x≠1時fn(x)<gn(x)。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數(shù)列的前n項和公式的相關知識，掌握前項和公式：．