Question

平面內(nèi)動點到點的距離等于它到直線的距離，記點的軌跡為曲．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點，，是上的不同三點，且滿足．證明： 不可能為直角三角形．

Answer 1

（1）
（2）利用向量的關系式來得到坐標關系式，然后借助于反證法來說明不成立。

試題分析：解法一：（Ⅰ）由條件可知，點到點的距離與到直線的距離相等， 所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為．   4分
（Ⅱ）假設是直角三角形，不失一般性，設，
，，，則由，
，，
所以．          6分
因為，，，
所以．           8分
又因為，所以，，
所以．  ①
又，
所以，即． ②   10分
由①，②得，所以． ③
因為．
所以方程③無解，從而不可能是直角三角形．       12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）設，，，由，
得，．           6分
由條件的對稱性，欲證不是直角三角形，只需證明．
當軸時，，，從而，，
即點的坐標為．
由于點在上，所以，即，
此時，，，則．    8分
當與軸不垂直時，
設直線的方程為：，代入，
整理得：，則．
若，則直線的斜率為，同理可得：．
由，得，，．
由，可得．
從而，
整理得：，即，①
．
所以方程①無解，從而．           11分
綜合，， 不可能是直角三角形．         12分
點評：本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等