Question

已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為。取點(diǎn),連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)。點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)

（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)
 且 
       橢圓C的方程是
（2）

由題意，各點(diǎn)的坐標(biāo)如上圖所示，
則的直線方程：
化簡(jiǎn)得
又，
所以帶入
求得最后
所以直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
第（1）題根據(jù)題意確定的大小，再將帶入方程，確定橢圓的方程；第（2）題是存在性問題，根據(jù)題意，設(shè)出，根據(jù)條件寫出的直線方程，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，然而點(diǎn)坐標(biāo)又在橢圓上，帶入方程，求出，即可判斷直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn).
【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，并考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力及運(yùn)算能力.