Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過該橢圓的左頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓相交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)、，證明：動(dòng)直線恒過軸上一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1)由三角形的面積可得.結(jié)合橢圓的定義可得，則..所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，顯然.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，直線與軸相交于點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立有 ，，則 ，據(jù)此可得或，則直線恒過點(diǎn).詳解：（1)∵點(diǎn)在橢圓上，且的面積為，

∴，即.

∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、.

∴，即：.

∴.

∴所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，顯然.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，此時(shí)直線的斜率為，

∴的方程為，代入化簡得：，

∴或，即此時(shí)直線與軸相交于點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，依題意，.

則的方程為，

代入并化簡得： ，

設(shè)、，

∴，.

又，

∴

∴，解之得或，

即直線恒過點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).