Question

求證：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

5

6

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：在證明當(dāng)n=k+1時(shí)，利用歸納假設(shè)和放縮法得到：左邊=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+(

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

)
＞

5

6

+(3×

1

3k+3

-

1

k+1

)即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

57

60

＞

50

60

=

5

6

，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)命題成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

5

6

成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+(

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

)
＞

5

6

+(3×

1

3k+3

-

1

k+1

)=

5

6

．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
綜上由（1）（2）可知：原不等式對(duì)任意n≥2（n∈N^*）都成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟及其放縮法是解題的關(guān)鍵．