Question

已知函數f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞ln(n+1)，(n∈N*)；
（Ⅲ）對于函數h(x)=

1

2

x2與g(x)=elnx，是否存在公共切線y=kx+b（常數k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函數h（x），g（x）各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 要求函數的最小值，需要求出導函數并令其等于零得到x=1，然后分區(qū)間x＜1和x＞1，討論函數的增減性來判斷函數的極值，得到函數的最小值即可．
（Ⅱ）由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，從而由e^x≥ex，當x＞0 時x-1≥lnx，進而可知，令x-1=

1

t

得

1

t

≥ln(1+

1

t

)=ln

1+t

t

，故可得證； 
（Ⅲ）設F(x)=ln(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，原問題轉化為研究此函數的單調性問題，利用導數知識解決．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x-e  令f'（x）=e^x-e=0 得x=1
當x＞1 時，f'（x）＞0，當x＜1 時，f'（x）＜0．
所以函數f（x） 在（-∞，1）上遞增所以f（x） 的最小值為f（1）=0 （3分）
（Ⅱ） 證明：由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，
所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex 當x＞0 時由e^x≥ex 得x≥1+lnx，x-1≥lnx，
當且僅當x=1 時等號成立．
令x-1=

1

t

得

1

t

≥ln(1+

1

t

)=ln

1+t

t

，1＞ln2，

1

2

＞ln

3

2

，

1

3

＞ln

4

3

…

1

n

＞ln

n+1

n

將上式相加得 1+

1

2

+

1

3

+…

1

n-1

+

1

n

＞ln(2×

3

2

×

4

3

×…x

n

n-1

×

n+1

n

)=ln(n+1) …8分
（Ⅲ） 設F(x)=ln(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx 則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

所以當0＜x＜

e

時F'（x）＜0，
當x＞

e

時，F'（x）＞0
所以當x=

e

時F（x） 取得最小值0．
則h（x） 與g（x） 的圖象在x=

e

處有公共點 (

e

，

1

2

e) 由h(x)≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R 恒成立，
則x2-2kx-e+2k

e

≥0 在x∈R 恒成立
所以△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

3

)2≤0
因此k=

3

下面證明g(x)≤

e

x-

1

2

e(x＞0) 成立設
G(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，G′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

所以當0＜x0，
當x＞

e

時，G'（x）＜0
因此x=

e

，b=-

1

2

e，
故所求公共切線為2

e

x-2y-e=0 （14分）

點評：本題考查了對數函數的導數運算，研究函數的最值問題．考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識．