Question

拋物線(xiàn)y²=4x上一定點(diǎn)P（x₀，2），直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直線(xiàn)l過(guò)P，求直線(xiàn)l的方程；
（2）若直線(xiàn)l不過(guò)P，且直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率為k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

Answer 1

分析：（1）把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)，由直線(xiàn)l的方向向量得到直線(xiàn)l的斜率，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線(xiàn)的斜率為-1，設(shè)不過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y=-x+b，代入拋物線(xiàn)方程得y²+4y-4b=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式，計(jì)算k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由拋物線(xiàn)y²=4x上一定點(diǎn)P（x₀，2），
則4=4x₀，∴x₀=1．故P（1，2）．
∵直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量

d

=(1，-1)，∴直線(xiàn)l的斜率為-1．
∴過(guò)P（1，2）的直線(xiàn)l的方程為y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線(xiàn)的斜率為-1．
設(shè)不過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y=-x+b，
由

y2=4x y=-x+b

，得y²+4y-4b=0，則y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），
∴k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

y1-2

y12 4 -1

+

y2-2

y22 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立方程組，化為關(guān)于x的方程后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決，是難題．