Question

已知0＜x＜π，sinx+cosx=

1

5

．
（1）求cosx-sinx的值；
（2）求

sinxcosx-sin2x

1+tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式記作①，將已知等式左右兩邊平方，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系sin²x+cos²x=1化簡(jiǎn)，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化簡(jiǎn)（sinx-cosx）²，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，并將2sinxcosx的值代入，開(kāi)方得到sinx-cosx的值，記作②，可得出cosx-sinx的值；
（2）聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解得到sinx與cosx的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanx的值，將sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化簡(jiǎn)后即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵0＜x＜π，sinx+cosx=

1

5

   ①，
∴（sinx+cosx）²=

1

25

，即sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=

1

25

，
∴2sinxcosx=-

24

25

＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-sin2x=

49

25

，
∴sinx-cosx=

7

5

②，
則cosx-sinx=-

7

5

；
（2）聯(lián)立①②解得：sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，
∴tanx=

sinx

cosx

=-

4

3

，
則

sinxcosx-sin2x

1+tanx

=

4 5 ×(- 3 5 ) -( 4 5 )2

1- 4 3

=

84

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．