Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sinα=

3

3

，cos(α-β)=

1

2

．
（Ⅰ） 求tan2α；              
（Ⅱ） 求cosβ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cosα，tanα，再利用二倍角公式，即可求tan2α；
（Ⅱ）先求出sin(α-β)=-

3

2

，再利用cosβ=cos[α-（α-β）]，即可求cosβ．

解答：解：（Ⅰ）∵0＜α＜

π

2

，sinα=

3

3

，
∴cosα=

6

3

，
∴tanα=

2

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2• 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

；
（Ⅱ）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴-π＜α-β＜0，
∵cos(α-β)=

1

2

，
∴sin(α-β)=-

3

2

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

6

3

•

1

2

+

3

3

•(-

3

2

)=

6 -3

6

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查二倍角公式，考查角的變換，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．