Question

一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m³），表面積為S（單位：m²）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大．

解析試題分析：（1）解答實(shí)際問題關(guān)鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積，體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長，底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求關(guān)系式. （2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，定義區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)討論其單調(diào)性，研究其圖像變化規(guī)律，確定其極值、最值.本題函數(shù)先增后減，在時(shí)，取極大值，也是最大值.（3）本題實(shí)質(zhì)是求表面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)是否成立.首先先建立表面積的函數(shù)關(guān)系式.表面積由兩部分組成，一是底面積，二是側(cè)面積. 底面積為梯形的面積，有兩個(gè). 側(cè)面積為梯形周長與圓木的長的乘積.再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值及取最大值時(shí)角的取值.
試題解析：（1）梯形的面積
=，． 2分
體積． 3分
（2）．
令，得，或（舍）．∵，∴． 5分
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． 7分
∴當(dāng)時(shí)，體積V最大． 8分
（3）木梁的側(cè)面積=，．
=，． 10分
設(shè)，．∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，最大． 12分
又由（2）知時(shí)，取得最大值，
所以時(shí)，木梁的表面積S最大． 13分
綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． 14分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值