Question

已知點(diǎn)P（3，-4）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若

EP

•

FP

=0，則雙曲線方程為（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)E、F的坐標(biāo)為E（-c，0），F(xiàn)（c，0），又由

EP

•

FP

=0，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得c的值，進(jìn)而由P坐標(biāo)與雙曲線的定義2a=||PE|-|PF||，可得a的值，根據(jù)則b=

c2-a2

，可得b的值，將a、b的值代入可得雙曲線的方程．

解答：解：設(shè)E（-c，0），F(xiàn)（c，0），
于是有

EP

•

FP

=（3+c，-4）•（3-c，-4）=9-c²+16=0．
于是c²=25，
則E（-5，0），F(xiàn)（5，0），
由雙曲線的定義，可得2a=||PE|-|PF||=6，
則a=3；
則b=

c2-a2

=4；
故雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)結(jié)合雙曲線的定義，并注意區(qū)分雙曲線與橢圓定義的區(qū)別．