Question

已知點(diǎn)P（3，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，離心率e=

5

3

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的面積；
（2）求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P（3，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，離心率e=

5

3

，建立等式，即可求得橢圓的方程；
（2）由題意知F₁ （-5，0），F(xiàn)₂ （5，0），利用點(diǎn)P（3，4），可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）由題意點(diǎn)P（3，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，離心率e=

5

3

，
∴e=

c

a

=

5

3

①

9

a2

+

16

b2

=1②（3分）
由①、②聯(lián)立得：a²=45，b²=20
∴所求方程為：

x2

45

+

y2

20

=1（6分）
（2）由題意知：c=5，∴F₁ （-5，0），F(xiàn)₂ （5，0）
∵點(diǎn)P（3，4）
∴△PF₁F₂的面積為

1

2

×10×4=20（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．