Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f(x)＜-g(x)-

1

2

；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值．
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x），通過(guò)導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)a與區(qū)間的討論，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，令最大值為-3，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x+lnx，
f?（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∴當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f?（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f?（x）＞0，此時(shí)f（x） 單調(diào)遞增，
∴f（x）的極大值為f（1）=-1．
（2）∵f（x）的極大值即f（x）在（0，e]上的最大值為-1
令h（x）=-g(x)-

1

2

=-

lnx

x

-

1

2

，
∴h/(x)=

lnx-1

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h?（x）＜0，且h（x）在x=e處連續(xù)
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（e）=

1

e

-

1

2

＞-1=f（x）_max
∴當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f(x)＜g(x)-

1

2

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f?（x）=a+

1

x

，
①當(dāng)a≥-

1

e

時(shí)，由于x∈（0，e]，則f?（x）=a+

1

x

≥0且f（x） 在x=e處連續(xù)
∴函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．
②當(dāng)a＜-

1

e

時(shí)，
則當(dāng)-

1

a

＜x＜e時(shí)，f?（x）=a+

1

x

＜0，此時(shí)f（x）=ax+lnx 是減函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜-

1

a

時(shí)，f?（x）=a+

1

x

＞0此時(shí)f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-3，解得a=-e²．
由①、②知，存在實(shí)數(shù)a=-e²，使得當(dāng)x∈（0，e]，時(shí)f（x）有最大值-3．

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的極值問(wèn)題常用的是導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0；證明不等式時(shí)常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值．