Question

【題目】如圖1，在邊長為3的菱形中，已知，且.將梯形沿直線折起，使平面，如圖2，分別是上的點.

（1）若平面平面，求的長；

（2）是否存在點，使直線與平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先平面與平面有公共點，得平面與平面相交，設(shè)交線為，根據(jù)平面平面得到，設(shè)，再得到，同理的得到，

根據(jù)即可求出結(jié)果；

(2) 以點為原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，用表示出平面的法向量，根據(jù)直線與平面所成的角是，即可求出結(jié)果.

解：（1）證明：因為平面與平面有公共點，

所以平面與平面相交，設(shè)交線為，若平面平面，

因為平面平面，則.

設(shè)，又因為，所以，

同理，由平面平面，

因為平面平面，平面平面，

所以.

所以.因為，，，所以，

所以

（2）在圖2中，以點為原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示.

易得，則，又，，，

所以，，，

設(shè)，則

則

設(shè)平面的法向量為，由它與，均垂直可得

，

令，可得，，

所以.

若存在點，使與平面所成的角是，

則，解得，因為，

所以，即