【題目】如圖，在三棱柱
中，
，
，
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
是棱
的中點，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根據(jù)題中的條件，利用線面垂直的判定定理，可證得
平面
，進而證得
，利用勾股定理，可證得
，利用線面垂直的判定定理，可證得
平面
，證得結(jié)果；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，建立空間直角坐標系，利用空間向量，求得線面角的正弦值，得到結(jié)果.
（Ⅰ）證明：∵在三棱柱
中，
，
，又
，
∴平面，又
平面，∴，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴，
又
，∴平面.
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直線
，
，
兩兩互相垂直，如圖，以
為原點，分別以，，所在直線為
，
，
軸，建立空間直角坐標系
，
則
，
，
，
，
，
設(shè)平面
的法向量
，
則
，所以，
，
取
，則
，
又
，設(shè)直線
與平面所成角為
，
則
.
∴直線平面所成角的正弦值.
解法二：由（Ⅰ）知，直線，，兩兩互相垂直，以
為原點，分別以
、
、
所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系
，
則
，
，
，
，
，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，所以，，
取，則，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
則 .
∴直線平面所成角的正弦值.
亮點激活精編提優(yōu)100分大試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)
圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
，縱坐標不變，再向右平移
個單位長度，得到函數(shù)
的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)
的一條對稱軸是
B. 函數(shù)的一個對稱中心是
C. 函數(shù)的一條對稱軸是
D. 函數(shù)的一個對稱中心是
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=
，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A.AC⊥BEB.EF
平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】了應(yīng)對新疆暴力恐怖活動，重慶市警方從武警訓(xùn)練基地挑選反恐警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選.假定某基地有4名武警戰(zhàn)士（分別記為
）擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、爆破的概率分別為
.這三項測試能否通過相互之間沒有影響．
（1）求
能夠入選的概率；
（2）規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費，每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到5000元的訓(xùn)練經(jīng)費，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列與數(shù)學(xué)期望（期望精確到個位）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的個數(shù)為（ ）
①命題“
中，若
，則
”的逆命題是真命題
②若命題
，則
③“命題
為真命題”是“命題
為假命題”的充要條件
④設(shè)
均為非零向量，則“
”是“
與
的夾角為銳角”的必要不充分條件
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（）
A. 銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;
B. 如果向量
，則
；
C. 在
中，記
，
，則向量
與
可以作為平面ABC內(nèi)的一組基底；
D. 若
，
都是單位向量，則
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校為了鼓勵學(xué)生熱心公益，服務(wù)社會，成立了“慈善義工社”.2017年12月，該校“慈善義工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動的機會，學(xué)生可通過網(wǎng)路平臺報名參加活動.為了解學(xué)生實際參加這4次活動的情況，該校隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表，其中“√”表示參加，“×”表示未參加.
（Ⅰ）從該校所有學(xué)生中任取一人，試估計其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動的概率；
（Ⅱ）若在已抽取的100名學(xué)生中，2017年12月恰參加了1次活動的學(xué)生比4次活動均未參加的學(xué)生多17人，求
的值；
（Ⅲ）若學(xué)生參加每次公益活動可獲得10個公益積分，試估計該校4000名學(xué)生中，2017年12月獲得的公益積分不少于30分的人數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】黨的十九大報告指出，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計．而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐．沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源，在保護綠水青山方面具有獨特功效．通過辦沼氣帶來的農(nóng)村“廁所革命”，對改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面，起到立竿見影的效果．為了積極響應(yīng)國家推行的“廁所革命”，某農(nóng)戶準備建造一個深為2米，容積為32立方米的長方體沼氣池，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，沼氣池蓋子的造價為3000元，問怎樣設(shè)計沼氣池能使總造價最低？最低總造價是多少元？
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