Question

【題目】已知函數(shù)（），.

（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；

（2）若，試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線.若存在，研究值的個(gè)數(shù)；，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，且符合題意的的值有且僅有兩個(gè).

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，得到，依題意，即可求解的值；（2）假設(shè)的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，分別求出導(dǎo)數(shù)，令，得，討論，分別， ，令，研究方程解的個(gè)數(shù)，可構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用都是求出單調(diào)區(qū)間，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，∴ ，

依題意得，∴ .

（2）假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，

∵，∴ ，∴ ， ，

由得，即，

∴，故.

∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，∴函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；

當(dāng)時(shí)，令，

∵， ，

∴，即（）.

下面研究滿足此等式的的值的個(gè)數(shù)：

設(shè)，則，且，方程化為，

分別畫出和的圖象，

當(dāng)時(shí)， ， ，

由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得和的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)（且均符合），

∴方程有且只有兩個(gè)根.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，且符合題意的的值有且僅有兩個(gè).

點(diǎn)晴：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解答中涉及到了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的合理應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題.