【題目】已知函數(shù)且
.
(1)求實數(shù)的值;
(2)令在
上的最小值為
,求證:
.
【答案】(1).(2)見解析.
【解析】試題分析:由題意知:恒成立等價于
在
時恒成立,
令,由于
,故
,
可證:在
上單調(diào)遞增;在
上單調(diào)遞減.故
合題意.
(2)由(1)知
,
所以,
令,可證
,使得
,且當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
,進(jìn)而證明
,
即.
試題解析:(1)法1:由題意知:恒成立等價于
在
時恒成立,
令,則
,
當(dāng)時,
,故
在
上單調(diào)遞增,
由于,所以當(dāng)
時,
,不合題意.
當(dāng)時,
,所以當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
,所以
在
上單調(diào)遞增,
在
上單調(diào)遞減,即
.
所以要使在
時恒成立,則只需
,
亦即,
令,則
,
所以當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
,即
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
又,所以滿足條件的
只有2,
即.
法2:由題意知:恒成立等價于
在
時恒成立,
令,由于
,故
,
所以為函數(shù)
的最大值,同時也是一個極大值,故
.
又,所以
,
此時,當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
,
即:在
上單調(diào)遞增;在
上單調(diào)遞減.
故合題意.
(2)由(1)知
,
所以,
令,則
,
由于,所以
,即
在
上單調(diào)遞增;又
,
,
所以,使得
,且當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
,
即在
上單調(diào)遞減;在
上單調(diào)遞增.
所以
.(∵
)
即,所以
,
即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求方程的解集;
(2)若關(guān)于x的方程在
上恒有解,求m的取值范圍;
(3)若不等式在
上恒成立,求m的取值范圍;
(4)若關(guān)于x的方程在
上有解,那么當(dāng)m取某一確定值時,方程所有解的和記為
,求
所有可能值及相應(yīng)的m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,
.直角梯形
通過直角梯形
以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到,且使得平面
平面
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)延長至點
,使
為平面
內(nèi)的動點,若直線
與平面
所成的角為
,且
,求點
到點
的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:
收看時間(單位:小時) | ||||||
收看人數(shù) | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達(dá)人”,否則定義為“非體育達(dá)人”,請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計 | |
體育達(dá)人 | 40 | ||
非體育達(dá)人 | 30 | ||
合計 |
并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān);
(2)在全!绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧會知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的
分布列與數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=3ax(x-2),若函數(shù)y=f(x)共有三個不同的零點,則a的取值范圍是( 。
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】世界那么大,我想去看看,每年高考結(jié)束后,處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈,旅游可支配收入日益增多,可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:
組別 | |||||
頻數(shù) |
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費用支出服從正態(tài)分布
,若該市共有高中畢業(yè)生35000人,試估計有多少位同學(xué)旅游費用支出在 8100元以上;
(3)已知本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生,3名男生, 現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為
,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別為
,若橢圓上一點
滿足
,過點
的直線
與橢圓
交于兩點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作
軸的垂線,交橢圓
于
,求證:存在實數(shù)
,使得
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
.
(1)求曲線被直線
截得的弦長;
(2)與直線垂直的直線
與曲線
相切于點
,求點
的直線坐標(biāo).
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