Question

某產(chǎn)品原來(lái)的成本為1000元/件，售價(jià)為1200元/件，年銷(xiāo)售量為1萬(wàn)件．由于市場(chǎng)飽和顧客要求提高，公司計(jì)劃投入資金進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若投入x萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的成本將降低

3x

4

元，在售價(jià)不變的情況下，年銷(xiāo)售量將減少

2

x

萬(wàn)件，按上述方式進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)和銷(xiāo)售，扣除產(chǎn)品升級(jí)資金后的純利潤(rùn)記為f（x）（單位：萬(wàn)元 ）．
（1）求f（x）的函數(shù)解析式；
（2）求f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）求出產(chǎn)品升級(jí)后每件的成本、利潤(rùn)及年銷(xiāo)售量，則利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式可求；
（2）利用基本不等式求出f（x）的最大值．

解答：解：（1）依題意，產(chǎn)品升級(jí)后，每件的成本為1000-

3x

4

元，利潤(rùn)為200+

3x

4

元，
年銷(xiāo)售量為1-

2

x

萬(wàn)件，
純利潤(rùn)為f(x)=(200+

3x

4

)(1-

2

x

)-x，
=198.5-

400

x

-

x

4

（萬(wàn)元）；
（2）f(x)=198.5-

400

x

-

x

4

≤198.5-2×

400 x × x 4

，
=178.5．
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

400

x

=

x

4

，
即x=40（萬(wàn)元）．
即最大值時(shí)的x的值為40

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了簡(jiǎn)單的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．