Question

【題目】設數(shù)列的前n項和為,若對任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得,則稱是“H數(shù)列”;

(1)若數(shù)列的前n項和(),判斷數(shù)列是否是“H數(shù)列”?若是,給出證明;若不是,說明理由;

(2)設數(shù)列是常數(shù)列,證明:為“H數(shù)列”的充要條件是;

(3)設是等差數(shù)列,其首項,公差,若是“H數(shù)列”,求d的值;

Answer 1

【答案】(1)是,見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

（1）求出數(shù)列的通項公式，確定是數(shù)列中的項即可；

（2）利用是數(shù)列中的項可求，注意要證明必要性和充分性．

（3）利用，求出，由是正整數(shù)分析的可能情形．

（1），則，時，，所以，

顯然對任意的是數(shù)列中的第項，所以數(shù)列是“H數(shù)列”；

（2）數(shù)列是常數(shù)列,即，而，數(shù)列是“H數(shù)列”，則對一切正整數(shù)成立，所以；

反之，若，則是數(shù)列中的項，即數(shù)列是“H數(shù)列”．

綜上，為“H數(shù)列”的充要條件是;

（3）是等差數(shù)列,其首項,公差，，，

若是“H數(shù)列”，則存在正整數(shù)，使得，

，是正整數(shù)，所以是整數(shù)，

因為，所以是所有正整數(shù)的公約數(shù)，又，所以．