Question

（08年新建二中三模）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且為它的右準(zhǔn)線.

   ⑴求橢圓的方程；

   ⑵設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn),若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、,證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

 

Answer 1

解析：⑴依題意得,,解得,從而.故橢圓的方程為.

  ⑵解法：由⑴得,,.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上,∴ ①.又點(diǎn)異于

    點(diǎn)、,∴,由三點(diǎn)共線得.∴,,

    ∴  ②.將①代入②,化簡(jiǎn)得.

   ∵,∴,則為銳角,∴為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

   解法：由⑴得,,設(shè).則,.又的中點(diǎn)

      為,依題意,點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差

       ③.又直線：,

      直線：,而兩直線與的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上,∴,即

      ④.又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 ⑤.于是將④、⑤

      代入③,化簡(jiǎn)后可得.從而,點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).