Question

【題目】如圖，四棱錐的一個(gè)側(cè)面為等邊三角形，且平面平面，四邊形是平行四邊形，，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可證得（2）作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面法向量，利用向量夾角即可求出.

（1）證明：在中，，，，

∴.

又平面平面，

平面平面，

∴平面，∴.

（2）如圖，作于點(diǎn)，

則平面，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，

，，

由（1）知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，

設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，

則.

所以二面角的余弦值為.