Question

如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在AD1上移動,點N在BD上移動,D1M=DN=a(0<a<),連接MN.

(1)證明對任意a∈(0,),總有MN∥平面DCC1D1.

(2)當(dāng)a為何值時,MN的長最小?

 

Answer 1

(1)見解析 (2) 當(dāng)a=時,MN的長有最小值

【解析】(1)作MP∥AD,交DD1于P,作NQ∥BC,交DC于Q,連接PQ.

由題意得MP∥NQ,且MP=NQ,

則四邊形MNQP為平行四邊形.

∴MN∥PQ.

又PQ?平面DCC1D1,MN?平面DCC1D1,

∴MN∥平面DCC1D1.

(2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形,

∴MN=PQ,

由已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1,

∴AD1=BD=,

∴D1P∶1=a∶,DQ∶1=a∶,

即D1P=DQ=.

∴MN=PQ=

=

=(0<a<),

故當(dāng)a=時,MN的長有最小值.

即當(dāng)M,N分別移動到AD1,BD的中點時,MN的長最小,此時MN的長為.