Question

（2012•大連模擬）已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x＜y＜e²且x≠e時(shí)，試比較

y

x

與

1-lny

1-lnx

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．通過(guò)考察f′（x）的正負(fù)值區(qū)間判斷單調(diào)區(qū)間，得出極值點(diǎn)情況．
（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用導(dǎo)數(shù)求最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數(shù)，g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

，考慮將1-lnx除到右邊，為此分1-lnx正負(fù)分類(lèi)求解．

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù) 在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴在（0，+∞）上沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，f′（x）＜0得x＜

1

a

．f′（x）=0得x=

1

a

．
∴在（0，

1

a

）上遞減，在（

1

a

，+∞）上遞增，即在x=

1

a

處有極小值．
∴當(dāng)a≤0時(shí)在（0，+∞）上沒(méi)有極值點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，在（0，+∞）上有一個(gè)極值點(diǎn)．（3分）
（Ⅱ）∵函數(shù)在x=

1

a

處取得極值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移項(xiàng)得（1-b）x＞lnx-1，再將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，
則令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²處取得極小值，也就是最小值．此時(shí)g（e²）=1-

1

e2

，
所以b≤1-

1

e2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數(shù)．0＜x＜y＜e²且x≠e時(shí)，
有g(shù)（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

當(dāng)e＜x＜e²時(shí)，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，并利用單調(diào)性比較大小．考查了分類(lèi)討論、構(gòu)造、推理計(jì)算能力．