Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，

p

=(a+c，b)，

q

=（c-a，b-c）且

p

⊥

q

（1）求A的大�。�
（2）記f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)向量垂直，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，得到關(guān)于三角形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，符合余弦定理，根據(jù)角A的范圍和余弦值，做出角A的大小．
（2）首先對(duì)所給的三角函數(shù)式進(jìn)行整理，利用二倍角公式和兩角和與差的正弦公式，得到y=sin(2B-

π

6

)+1，根據(jù)角B的范圍，確定所用的角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知

p

⊥

q

，所以

p

•

q

=（a+c）（c-a）+b（b-c）=0，
即b²+c²-a²=bc．
在△ABC，由余弦定理知：
cosA=

b2+ c2-a2

2bc

=

1

2

．
又∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)
=1-cos2B+(

3

2

sin2B+

1

2

cos2B)=sin(2B-

π

6

)+1．
又△ABC為銳角三角形，
所以B∈(0，

π

2

)，C=

2π

3

-B∈(0，

π

2

)，
即

π

6

＜B＜ 

π

2

，
∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，
故f（B）的取值范圍是（

3

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查及三角形的問題，考查三角函數(shù)的恒等變形化簡(jiǎn)求值，角的范圍的討論和三角函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的最值，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于函數(shù)式的整理，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)于角的范圍的分析，注意三角形中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．