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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣lnx(a∈R)
          (1)當a=1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)若x∈(0,1],|f(x)|≥1恒成立,求a的取值范圍;
          (3)若a= ,證明:ex1f(x)≥x.

          【答案】
          (1)解:a=1時,函數(shù)f(x)=x2﹣lnx,

          函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

          則由f'(x)>0得 ,由f'(x)<0得 ,

          所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為


          (2)解:由已知得f′(x)=2ax﹣

          若f′(x)≤0在(0,1]上恒成立,則2a≤ 恒成立,所以2a≤( min=1,即a≤

          ①a≤ 時,f(x)在(0,1]單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=a,與|f(x)|≥1恒成立矛盾.

          ②當a> 時,令f′(x)=2ax﹣ =0,得x= ∈(0,1].

          所以當x∈(0, )時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

          當x∈( ,1]時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

          所以f(x)min=f( )=a( 2﹣ln = + ln2a.

          由|f(x)|≥1得, + ln2a≥1,所以a≥

          綜上,所求a的取值范圍是[ ,+∞)


          (3)解:證明:a= 時,由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1.

          令h(x)= ,則h′(x)=

          所以當0<x<1時,h′(x)>0,h(x)單增;當x≥1時,h′(x)<0,h(x)單減.

          所以h(x)≤h(1)=1.…(13分)

          所以f(x)≥h(x),即ex1f(x)≥x


          【解析】(1)求出導數(shù),由導數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)求出導數(shù),對a討論,①a≤ 時,②當a> 時,求出單調(diào)區(qū)間,可得最小值,由恒成立思想即可得到a的范圍;(3)a= 時,由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1,令h(x)= ,求出導數(shù),單調(diào)區(qū)間,運用單調(diào)性即可得證.
          【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

          練習冊系列答案
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          (Ⅰ)如果該參與者先回答問題A,求其恰好獲得獎金1千元的概率;
          (Ⅱ)試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎金額的期望值較大.

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          競選.

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          )在男生甲被選中的情況下,求女生乙也被選中的概率.

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          性別

          是否需要志愿者

          需要

          40

          30

          不需要

          160

          270

          (1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿提供幫助的老年人的比例;

          (2)能否有99℅的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?提供幫助的老年人的比例?說明理由.

          0.050

          0.010

          0.001

          3.841

          6.635

          10.828

          附:

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          (2)若命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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          (1)求的值;

          (2)設,

          證明:對任意實數(shù),函數(shù)的圖象與直線最多只有一個交點;

          (3)設,是否存在實數(shù)m和nm<n,使的定義域和值域分別為,如果存在,求出m和n的值.若不存在,請說明理由。

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          打算觀看

          不打算觀看

          女生

          20

          b

          男生

          c

          25

          (1)求出表中數(shù)據(jù)b,c;

          (2)判斷是否有99%的把握認為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);

          (3)為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學中有5名男生、2名女生來自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺采訪,請根據(jù)上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.

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          (1)求f(x)的最小正周期;
          (2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,求當x∈[0, ]時,y=g(x)的最大值.

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