Question

直四棱柱中，底面為菱形，且為延長線上的一點，面.設(shè).

(Ⅰ)求二面角的大小；
(Ⅱ)在上是否存在一點，使面?若存在，求的值;不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在點使面此時

解析試題分析：本題主要以直三棱柱為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、線面平行和二面角的求法，可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，第一問，通過對題目的分析建立空間直角坐標(biāo)系，得到點和向量的坐標(biāo)，先由線面垂直得出平面的法向量為，再利用，，求出平面的法向量，最后利用夾角公式求出夾角余弦值，通過觀察判斷確定二面角為銳角；第二問，先假設(shè)存在，利用共線向量，得到與的關(guān)系，從而得到的坐標(biāo)，下面求的坐標(biāo)，利用第一問中的和的坐標(biāo)計算的坐標(biāo)，如果平面，則與平面的法向量垂直，所以，利用這個方程解題，如果有解，則存點，若無解，則不存在點.
試題解析：(Ⅰ)設(shè)與交于，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則設(shè)
則
平面
即          2分
設(shè)平面的法向量為 
則由 得   令
平面的一個法向量為
又平面的法向量為
∴二面角大小為           6分

(Ⅱ)設(shè)得
   10分
面
存在點使面此時         12分
考點：1.空間向量法；2.線面垂直；3.夾角公式；4.向量垂直的充要條件.