已知函數
，
（其中
）．
（Ⅰ）求函數
的極值；
（Ⅱ）若函數
在區(qū)間
內有兩個零點，求正實數a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當
時，
．（說明：e是自然對數的底數，e=2.71828…）
（Ⅰ）極小值為
，無極大值（Ⅱ）
（Ⅲ）問題等價于
．由（Ⅰ）知
的最小值為
．設
，
得
在
上單調遞增，在
上單調遞減．∴
，
∵
=
，∴
，∴，故當
時，
【解析】
試題分析：（Ⅰ）
，
∴
（，
），
由
，得
，由
，得
，
故函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以函數的極小值為，無極大值． 4分
（Ⅱ）函數
，
則
，
令
，∵，解得
，或
（舍去），
當
時，
，
在
上單調遞減；
當
時，
，在
上單調遞增．
函數在區(qū)間
內有兩個零點，
只需
即
∴
故實數a的取值范圍是． 9分
（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．
設，得在上單調遞增，在上單調遞減．
∴，
∵=，
∴，∴，故當時，． 14分
考點：函數極值最值
點評：求函數極值最值都需要首先找到函數的單調區(qū)間，第二問將函數存在零點轉化為最值邊界值的范圍，第三問將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，這兩種轉化是函數綜合題中經常考到的
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
·
,其中
=(sinωx+cosωx,
cosωx), 
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
.(1)求ω的取值范圍；
(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
,b+c=3(b＞c)，當ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省五校聯盟高三下學期第一次聯考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知
,函數
，
，(其中e是自然對數的底數，為常數),
（1）當
時，求
的單調區(qū)間與極值；
（2）是否存在實數
，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省等三校高三2月月考數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數
，
.（其中
為自然對數的底數），
（Ⅰ）設曲線
在
處的切線與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）若對于任意實數
≥0，
恒成立，試確定實數的取值范圍；
（Ⅲ）當
時，是否存在實數
，使曲線C：
在點
處的切線與
軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年天津市高三十校聯考理科數學 題型：解答題
．（14分）已知函數
，
，其中
（Ⅰ）若
是函數
的極值點，求實數
的值
（Ⅱ）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍
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，
（其中
）的周期為π，且圖象上一個最低點為
。
的解析式；
時，求