Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率，圓與直線相切，為坐標(biāo)原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點任作一直線交橢圓于兩點，記，若在線段上取一點,使得，試判斷當(dāng)直線運動時，點是否在某一定直一上運動？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點在定直線上．

【解析】

試題分析：（1）由離心率,及圓心與直線相切,可得關(guān)于的兩個關(guān)系式,解得值,可得橢圓的方程；（2）由題可設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的坐標(biāo)運算,可得值,設(shè)出點坐標(biāo), 由,可得點橫坐標(biāo)為．

試題解析：

（1）由，∴，∴，又，

解得，所以橢圓的方程為．

（2）直線的斜率必存在，設(shè)其直線方程為，

并設(shè)，，聯(lián)立方程，

消去得，則

，，

由，得，故．

設(shè)點的坐標(biāo)為，則由，得，

解得

又，

，從而，

故點在定直線上．