【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）討論
在
上的單調(diào)性；
（2）證明：在
上有三個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）
的單調(diào)遞減區(qū)間為
，
；單調(diào)遞增區(qū)間為
，
.（2）證明見解析
【解析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可證明在
上有3個(gè)零點(diǎn)，再構(gòu)建新函數(shù)可證明在
上沒有零點(diǎn).
（1）
，
由
及
，得
或
或
.
當(dāng)
變化時(shí)，
和的變化情況如下表：
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| ↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，
的極小值分別為
，
；
極大值
.又
，
所以在
上僅有一個(gè)零點(diǎn)0；
在
，上各有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)
時(shí)，
，
令
，則
，
顯然
時(shí)，
單調(diào)遞增，
；
當(dāng)
時(shí)，
，
從而時(shí)，
，
單調(diào)遞減，
因此
，即
，
所以在
上沒有零點(diǎn).
當(dāng)
時(shí)，
，
令
，則
，
顯然
時(shí)，
，
；
當(dāng)
時(shí)，
，
從而時(shí)，，
單調(diào)遞增，
因此
，即
，
所以在
上沒有零點(diǎn).
故在
上僅有三個(gè)零點(diǎn).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在斜三棱柱
中，
，側(cè)面
是邊長(zhǎng)為4的菱形，
，
，
、
分別為
、
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】國(guó)家大力提倡科技創(chuàng)新，某工廠為提升甲產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，對(duì)生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新改造，使甲產(chǎn)品的生產(chǎn)節(jié)能降耗．以下表格提供了節(jié)能降耗后甲產(chǎn)品的生產(chǎn)產(chǎn)量
(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗
(噸)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程
；
（
，
）
（2）已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)
噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為
噸，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)節(jié)能降耗后生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知非空集合
是由一些函數(shù)組成，滿足如下性質(zhì)：①對(duì)任意
，
均存在反函數(shù)
，且
；②對(duì)任意，方程
均有解；③對(duì)任意、
，若函數(shù)
為定義在
上的一次函數(shù)，則
.
（1）若
，
，均在集合中，求證：函數(shù)
；
（2）若函數(shù)
（
）在集合中，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù)，求證：存在一個(gè)實(shí)數(shù)
，使得對(duì)一切，均有
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
，橢圓
（
）的短軸長(zhǎng)等于圓
半徑的
倍，
的離心率為
．
（1）求的方程；
（2）若直線
與交于
兩點(diǎn)，且與圓相切，證明：
為直角三角形．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】 已知拋物線
的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)
，焦點(diǎn)
在
軸的正半軸上，過點(diǎn)的直線
與拋物線相交于
，
兩點(diǎn)，且滿足
（1）求拋物線的方程；
（2）若
是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
軸上，圓
內(nèi)切于
，求面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】正數(shù)數(shù)列
、
滿足：
≥
，且對(duì)一切k≥2，k
，
是
與
的等差中項(xiàng)，
是與的等比中項(xiàng)．
（1）若
，
，求，的值；
（2）求證：是等差數(shù)列的充要條件是為常數(shù)數(shù)列；
（3）記
，當(dāng)n≥2(n)時(shí)，指出
與
的大小關(guān)系并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，m∥β，則α⊥β．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求
的單調(diào)性；
（2）若
，對(duì)于任意
，是否存在與
有關(guān)的正常數(shù)
，使得
成立？如果存在，求出一個(gè)符合條件的；否則說明理由．
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