Question

【題目】 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且滿足

（1）求拋物線的方程；

（2）若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(2) 8

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后可，代入可求得，得拋物線方程；

（2）設(shè)易知點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)均不相同.不妨設(shè)mn. 寫(xiě)出直線PM的方程，由直線PM與圓相切得一關(guān)系式，同理PN與圓相切又得一關(guān)系式，兩者比較說(shuō)明是一個(gè)方程的根，由韋達(dá)定理得，從而可表示并求出（用表示），而面積為，表示為的函數(shù)，由基本不等式可求得最小值．

（1）由題意，設(shè)拋物線C的方程為，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立方程得，消去得

所以

因?yàn)?/span>所以故拋物線的方程為.

(2)設(shè)易知點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)均不相同.

不妨設(shè)mn.

易得直線PM的方程為化簡(jiǎn)得，

又圓心（0,1）到直線PM的距離為1，所以

所以

不難發(fā)現(xiàn)，故上式可化為

同理可得

所以m，n可以看作是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

所以

因?yàn)?/span>是拋物線C上的點(diǎn)，所以

則又，所以從而

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)

故△PMN面積的最小值為8.