Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

[ 

2

13

 ， 1 ]

．

Answer 1

分析：要使不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函數(shù)y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．函數(shù)y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，利用單調性求解，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，利用配方法求解．

解答：解：要使不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函數(shù)y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．
y1=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，根據(jù)函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在t=2時取得最大值為

2

13

y2=

t+2

t2

= 

1

t

+

2

t2

=2(

1

t

+

1

4

)2 -

1

8

，從而函數(shù)在t=2時取得最小值為1
所以實數(shù)a的取值范圍是[

2

13

， 1 ]
故答案為[

2

13

， 1 ]

點評：本題考點是不等式，是一個在不等式恒成立的條件下求的參數(shù)的題．主要考查的是函數(shù)的最值問題與恒成立結合的綜合類問題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、二次函數(shù)求最值的方法和問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．