Question

【題目】求下列函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）1個(gè)；（2）1個(gè)

【解析】

（1）首先利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)即可求解；同時(shí)也可以函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可求解.

（2）首先利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，

再結(jié)合函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)即可求解；也可將函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)，利用函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可求解.

解：方法一：（1）∵，，∴，

∴在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn).又∵在R上是單調(diào)增函數(shù)，

∴在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）∵，，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，

又∵在R上是單調(diào)增函數(shù)，

∴在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

方法二： （1）函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，

也即的根，令，，

在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖，

由圖知與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）函數(shù)的零點(diǎn)，

即方程的根，也即的根.

令，，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖

由圖知與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).