Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，平面平面，與相交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由四邊形為菱形可得，由面面垂直性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由三棱柱特點(diǎn)可得，由三線合一性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，從而可以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求得法向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到法向量夾角的正弦值，即為所求二面角的正弦值.

（1） 四邊形為菱形

平面平面，平面平面，平面

平面，又平面

（2）

由三棱柱的特點(diǎn)可知：

為中點(diǎn)

平面，平面

平面， 平面

以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

，，，

則，

平面 平面的一個(gè)法向量為：

設(shè)平面的法向量

，令，則，

即二面角的正弦值為：