Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln.

(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)對于x∈[2，6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (－∞，－1)∪(1，＋∞)，奇函數(shù)．(2) 0＜m＜7.

【解析】

(1)解不等式＞0，即得函數(shù)的定義域.再利用奇偶函數(shù)的判定方法判斷函數(shù)的奇偶性.（2）轉(zhuǎn)化成以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．再求出函數(shù)的最小值得解.

(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，

所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，

f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，

所以f(x)＝ln是奇函數(shù)．

(2)由于x∈[2，6]時，

f(x)＝ln＞ln恒成立，

所以＞＞0，

因為x∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x∈[2，3]時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈[3，6]時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

即x∈[2，6]時，g(x)min＝g(6)＝7，

所以0＜m＜7.