Question

【題目】已知點滿足條件.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）直線與圓： 相切，與曲線相較于， 兩點，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得點P的軌跡是以， 為焦點，長軸長為4的橢圓， 可得橢圓方程.

（Ⅱ）由直線l與圓O： 相切，再由韋達定理表示，可得解.

試題解析：（Ⅰ） 滿足條件，

所以點P的軌跡是以， 為焦點，長軸長為4的橢圓，

， ，

因此所求點P的軌跡C的方程為．

（Ⅱ）當軸時，l： ，

代入曲線C的方程得，

不妨設(shè)， ，

這時，

所以直線斜率存在．

設(shè)， ，

直線l的方程為，

由直線l與圓O： 相切，

．

∵直線與曲線相交，

成立，

， ，

．

點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．