Question

【題目】如圖，已知平面平面，為線段的中點(diǎn)， ，四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面，，，為棱的中點(diǎn).

(1)若為線上的點(diǎn)，且直線平面，試確定點(diǎn)的位置；

(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)連接，由直線平面，，又為的中點(diǎn)， 從而得為的中位線， 為的中點(diǎn)；（2）先證明平面，

可得兩兩相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個(gè)法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

(1)連接，直線平面，平面，

平面平面，

又為的中點(diǎn)， 為的中位線， 為的中點(diǎn).

(2) 則，

又為的中點(diǎn)，.

又平面平面，平面平面

四邊形為平行四邊形.

又，四邊形為菱形.

又，，

，

，平面平面

平面，

兩兩相垂直

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，

軸建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得，

，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量

則由且得:

且

令，得

.

又平面的一個(gè)法向量

所求銳二面角的余弦值約：

.