Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：函數(shù)恰有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)；（用圖象法證明不給分）

（2）若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出在上單調(diào)遞減，利用零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得，由此可證得結(jié)論；

（2）令，結(jié)合函數(shù)圖象可知，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則方程必有兩根，且，或，；當(dāng)時(shí)可求得，不合題意；當(dāng)，時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象可得到不等式組，由此解得結(jié)果.

（1）若，則

時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

又，，則存在唯一的使得

即函數(shù)在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)

（2）令，，要使得函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)

圖象如下圖所示：

則方程必有兩根，且，或，

①若，時(shí)，令

則，即，解得：

②若，則，即 ，不合題意

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為