Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以OM為直徑且截直線所得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中得到，同時(shí)聯(lián)立即可得到的值，即橢圓的方程；（2）根據(jù)題意所求圓心為的中點(diǎn)，半徑為

，利用圓心到直線的距離為，得到關(guān)于的方程，得到所求圓的方程；（3）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為及平面幾何知識(shí)得到： ，設(shè)直線的方程為： 與的直線方程聯(lián)立求得，進(jìn)而求得得到的長(zhǎng)為定值.

試題解析：（1）由題意得，又由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，得，又聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為；

（2）以為直徑的圓的圓心為，半徑，所以圓M的方程為。依題意，解得所以所求圓的方程為；

（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為,由平面幾何知識(shí)知，直線的方程為，則直線的方程為由，得，故

，所以線段的長(zhǎng)為定值.